Parachutisme

Application de la deuxième loi de Newton à l'étude d'une chute avec vitesse initiale horizontale
Simulation numérique par la méthode d'Euler pour l'étude d'une chute dans l'air avec et sans vent.


Il n'est pas indispensable d'avoir traité les questions faisant appel à la méthode d'Euler pour répondre aux autres questions. On prendra g=9,81m.s-2 On étudiera tous les mouvements dans un référentiel terrestre.

  1. Un solide est largué d'un avion volant horizontalement à la vitesse de 350 km.h-1 par-rapport au sol, à une altitude de 3800 m. En négligeant tous les frottements et la poussée d'Archimède, établir l'équation de la trajectoire de son centre d'inertie dans un référentiel terrestre.
  2. Un parachutiste de masse totale 80kg est largué d'un avion dans les mêmes conditions (on négligera sa vitesse initiale par-rapport à l'avion) . Il est soumis de la part de l'air à une force de frottements proportionnelle au carré de sa vitesse par-rapport à l'air. Dans la position usuelle à plat ventre, la relation entre la coordonnée verticale de la vitesse vy et la coordonnée verticale de la force de frottement Fy est

    |Fy |= 0,26 vy2 en unités SI.


    On négligera la poussée d'Archimède.

    1. Déterminer sa vitesse verticale limite.
    2. En utilisant la méthode d'Euler ( à l'aide d'un tableur ou en programmant votre calculatrice) avec un Δt de 0.5s évaluer le temps caractéristique τ du mouvement vertical du parachutiste et déterminer si on peut considérer qu'au bout de t=5 τ la vitesse limite est atteinte.
    3. A t=25s , le parachutiste est descendu d'environ 1100m et sa vitesse verticale est égale à sa vitesse limite. Il tombe encore pendant 15s avant d'ouvrir son parachute . A quelle altitude se trouve-t-il alors ?

  3. Dans la position à plat ventre la relation entre les composantes horizontales Fx et vx de la force de frottement et de la vitesse par-rapport à l'air est

    |Fx|=0,16vx/air2 en unités SI

    1. En utilisant la méthode d'Euler, déterminer la distance horizontale parcourue par le parachutiste, par-rapport au sol, entre le largage et l'ouverture du parachute, en supposant qu'il n'y a pas du tout de vent
    2. Reprendre la même question en supposant que la vitesse du vent pendant cette phase est 20m.s-1 et que l'avion est face au vent lorsqu'il largue le parachutiste, sa vitesse par-rapport au sol étant toujours 350 km.h-1
    3. Tracer sur le même graphe l'allure de la trajectoire dans chacun des trois cas envisagés : sans frottements, avec frottements, avec frottements et vent (préciser le sens du mouvement de l'avion)

  4. L'ouverture complète du parachute dure environ 4s, pendant lesquelles la vitesse verticale décroît jusqu'à une valeur de 5m.s-1. Déterminer la force moyenne totale exercée par l'air sur le parachutiste et son parachute pendant cette phase.

  5. Certains parachutistes effectuent la phase précédant l'ouverture du parachute la tête en bas . Déterminer leur vitesse verticale limite en prenant |Fy|= 0,143 vy2 en unités SI.
Le corrigé
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